Los soldados de Conway

Los Soldados de Conway o el problema que brinca al inspector son un juego matemático de una persona o rompecabezas ideado y analizado por el matemático John Horton Conway en 1961. Una variante del solitario de la clavija, ocurre en un tablero de damas infinito. El consejo es dividido en una línea horizontal que se extiende indefinidamente. Encima de la línea son células vacías y debajo de la línea son un número arbitrario de piezas animosas o "soldados". Como en el solitario de la clavija, un movimiento consiste en un soldado que brinca sobre un soldado contiguo en una célula vacía, verticalmente u horizontalmente (pero no en diagonal), y quita al soldado que se brincó. El objetivo del rompecabezas es colocar a un soldado lo más lejos encima de la línea horizontal posible.

Conway demostró que, sin tener en cuenta la estrategia usada, no hay ninguna serie finita de movimientos que permitirán que un soldado avance más de cuatro filas encima de la línea horizontal. Su argumento usa un suplemento salarial con cuidado elegido de células (implicando la proporción de oro), y demostró que el peso total sólo puede disminuir o permanecer constante. Este argumento se ha reproducido en varios libros de matemáticas populares.

Simon Tatham y Gareth Taylor han mostrado que la quinta fila se puede alcanzar vía una serie infinita de movimientos http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/solarmy/; este resultado también está en un artículo de Pieter Blue y Stephen Hartke http://www.math.unl.edu/~shartke2/. Si los saltos diagonales se permiten, la 8va fila se puede alcanzar, pero no la 9na fila. También se ha mostrado que, en la versión n-dimensional del juego, la fila más alta que se puede alcanzar es 3n-2. El argumento de suplemento salarial de Conway demuestra que la fila 3n-1 no se puede alcanzar. Es bastante más difícil mostrar que la fila 3n-2 se puede alcanzar (ver el artículo de Eriksson y Lindstrom).

La prueba que la quinta fila es inaccesible

Nota y definiciones

Deje al cuadrado objetivo marcarse, y todos otros cuadrados marcarse, donde está el número de cuadrados lejos (horizontalmente y verticalmente, como en la distancia de Manhattan) del cuadrado objetivo. Si consideramos la configuración inicial de soldados, debajo de la línea roja gruesa, podemos asignar un resultado basado en la suma de los valores bajo cada soldado, (p.ej, etc.) Cuando un soldado brinca sobre otro soldado, hay tres casos para considerar:

  1. Un salto Positivo: esto es cuando un soldado brinca hacia el cuadrado objetivo sobre otro soldado. Deje al valor del cuadrado del soldado ser, entonces el cambio total del resultado después de que un salto positivo sea.
  2. Un salto Neutro; esto es cuando un soldado brinca sobre otro soldado, pero permanece una distancia igual del cuadrado objetivo después de su salto (debería esto ser necesario). En este caso el cambio del resultado es-.
  3. Un salto Negativo: esto es cuando unos soldados brincan sobre el otro en un cuadrado vacío lejos del cuadrado objetivo. Aquí el cambio del resultado es.

La elección de un valor de

Vamos a

elegir un valor de tal que el cambio del resultado para un salto positivo es. Así, requerimos = 0 (la elección da que no nos consigue en ninguna parte). Por lo tanto, y la solución de esto con las producciones de la ecuación cuadrática. Elegimos la raíz positiva, ya que su valor absoluto es menos de 1, que se hace útil más tarde en la prueba. Nuevo arreglo, podemos ver que:

[y la multiplicación por;]

etc...

La suma de esto al infinidad hace que todos los términos a la derecha anulen aparte de 1, es decir,

Esto también se puede mostrar con la proporción común, donde:

Cuando r =

Soluciones

Vamos a

tomar el primer ejemplo, donde el cuadrado objetivo está en la primera fila encima de la línea roja. Ahora consideramos el resultado inicial posible máximo, aquel es cuando cada cuadrado tiene un soldado en él. La suma de los cuadrados en la primera fila debajo de la línea roja, es. [El dibujo de un diagrama ayuda a visualizar esto]. En la siguiente línea abajo, cada cuadrado está el que más lejos del cuadrado objetivo, y tan tiene tiempos del valor el cuadrado encima de ello, etcétera para todas las filas debajo de la línea.

Por lo tanto, el valor total de todos los cuadrados debajo de la línea es igual a:



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